정수의 곱셈
ㄱ이 정수일 때 ㄱ+ㄴ=ㄴ+ㄱ=0인 정수 ㄴ이 단 하나 존재한다.
이 ㄴ을 -ㄱ이라 하자. 예:
ㄱ이 0일 때 0+ㄴ=ㄴ+0=0인 정수 ㄴ은 0이다. 0을 -0이라 하자.
ㄱ이 3일 때 3+ㄴ=ㄴ+3=0인 정수 ㄴ은 -3이다. -3을 -3이라 하자.
ㄱ이 -4일 때 (-4)+ㄴ=ㄴ+(-4)=0인 정수 ㄴ은 4이다. 4를 -(-4)라 하자.
ㄱ이 정수일 때 ㄱ×0=0이라 하자.
ㄱ이 정수이고 ㄴ이 양의 정수일 때,
ㄱ×ㄴ=ㄱ×(ㄴ+(-1))+ㄱ이라 하자. 그러면,
ㄱ×1=ㄱ×(1+(-1))+ㄱ=ㄱ×0+ㄱ=0+ㄱ=ㄱ.
ㄱ×2=ㄱ+(2+(-1))+ㄱ=ㄱ×1+ㄱ=ㄱ+ㄱ.
ㄱ×3=ㄱ+(3+(-1))+ㄱ=ㄱ×2+ㄱ=(ㄱ+ㄱ)+ㄱ.
ㄱ×4=ㄱ+(4+(-1))+ㄱ=ㄱ×3+ㄱ=((ㄱ+ㄱ)+ㄱ)+ㄱ.
⋮
ㄱ이 정수이고 ㄴ이 음의 정수일 때,
ㄱ×ㄴ=ㄱ×(ㄴ+1)+(-ㄱ)이라 하자. 그러면,
ㄱ×(-1)=ㄱ×((-1)+1)+(-ㄱ)=ㄱ×0+(-ㄱ)=0+(-ㄱ)=-ㄱ.
ㄱ×(-2)=ㄱ×((-2)+1)+(-ㄱ)=ㄱ×(-1)+(-ㄱ)=(-ㄱ)+(-ㄱ).
ㄱ×(-3)=ㄱ×((-3)+1)+(-ㄱ)=ㄱ×(-2)+(-ㄱ)=((-ㄱ)+(-ㄱ))+(-ㄱ).
ㄱ×(-4)=ㄱ×((-4)+1)+(-ㄱ)=ㄱ×(-3)+(-ㄱ)=(((-ㄱ)+(-ㄱ))+(-ㄱ))+(-ㄱ).
⋮
이러면 ㄱ,ㄴ이 정수일 때, ㄱ×ㄴ이 잘 정의된다.
정수의 곱셈의 성질
ㄱ이 정수일 때 0×ㄱ=0이 된다. (정의에 따라 해보면 된다.)
따라서 ㄱ이 정수일 때, ㄱ×0=0×ㄱ=0이다.
ㄱ,ㄴ이 양의 정수일 때, ㄱ×ㄴ=ㄴ×ㄱ이다.
이는 다음 예를 보면 알 수 있다.
2×3 = (2+2)+2 = ((0+2)+2)+2
= (((((0 →) →) →) →) →) →
= (0+3)+3 = 3+3 = 3×2.
ㄱ이 음의 정수, ㄴ이 양의 정수일 때, ㄱ×ㄴ=ㄴ×ㄱ이다.
이는 다음 예를 보면 알 수 있다.
(-2)×3 = ((-2)+(-2))+(-2) = ((0+(-2))+(-2))+(-2)
= (((((0 ←) ←) ←) ←) ←) ←
= (0+(-3))+(-3) = (-3)+(-3) = (-3)×2.
ㄱ,ㄴ이 음의 정수일 때, ㄱ×ㄴ=ㄴ×ㄱ이다.
이는 다음 예를 보면 알 수 있다.
(-2)×(-3) = ((-(-2))+(-(-2)))+(-(-2)) = (2+2)+2
= 2×3 = 3×2 = 3+3
= (-(-3))+(-(-3)) = (-3)×(-2).
(몇몇 증명은 생략하고) 정리하자면 ㄱ,ㄴ,ㄷ이 정수일 때,
- ㄱ×0=0×ㄱ=0이다.
- ㄱ×ㄴ=ㄴ×ㄱ이다.
- ㄱ×ㄴ=-((-ㄱ)×ㄴ)이다.
- (ㄱ×ㄴ)×ㄷ=ㄱ×(ㄴ×ㄷ)이다.
- (ㄱ+ㄴ)×ㄷ=ㄱ×ㄷ+ㄴ×ㄷ이다.
정수의 곱셈에 대한 이해에 도움이 되는 부분
다음 그림을 보면 정수의 곱셈의 이해에 도움이 된다.
가로가 ㄱ, 세로가 ㄴ일 때, 각각의 위치에 ㄱ×ㄴ 값을 적어보자.
| ㄴ | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| ⋮ | |||||||||||
| 4 | |||||||||||
| 3 | |||||||||||
| 2 | |||||||||||
| 1 | |||||||||||
| ⋯ | -4 | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | ⋯ | ㄱ |
| -1 | |||||||||||
| -2 | |||||||||||
| -3 | |||||||||||
| -4 | |||||||||||
| ⋮ |
일 때, ㄱ×ㄴ :
| ⋮ | ||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| -16 | -12 | -8 | -4 | 0 | 4 | 8 | 12 | 16 | ||
| -12 | -9 | -6 | -3 | 0 | 3 | 6 | 9 | 12 | ||
| -8 | -6 | -4 | -2 | 0 | 2 | 4 | 6 | 8 | ||
| -4 | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | ||
| ⋯ | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | ⋯ |
| 4 | 3 | 2 | 1 | 0 | -1 | -2 | -3 | -4 | ||
| 8 | 6 | 4 | 2 | 0 | -2 | -4 | -6 | -8 | ||
| 12 | 9 | 6 | 3 | 0 | -3 | -6 | -9 | -12 | ||
| 16 | 12 | 8 | 4 | 0 | -4 | -8 | -12 | -16 | ||
| ⋮ |
위의 표가 ㄱ,ㄴ이 정수일 때 ㄱ×ㄴ의 곱셈표가 된다.
[정수의 곱셈] 부분을 참고하면,
빨간색 부분이 ㄱ×0 부분이고,
보라색 부분이 ㄴ이 양의 정수일 때 ㄱ×ㄴ 부분이 되며,
파란색 부분이 ㄴ이 음의 정수일 때 ㄱ×ㄴ 부분이 된다.
이를 이용하면 앞선 [정수의 곱셈의 성질] 부분의
마지막 정리 부분 1, 2, 3은 쉽게 이해할 수 있다.
4는 3을 이용하면 ㄱ,ㄴ,ㄷ의 부호에 따라 경우를 나눠 따지면 될 것 같다.
5는 ㄷ이 0이면 되고,
ㄷ에 대하여 양의 방향과 음의 방향으로 수학적 귀납법을 이용하면 된다.
