정수 및 정수의 덧셈

정수

0이 있다.

'ㄱ 은 ㄴ 이다.' 또는 'ㄱ과 ㄴ은 같다.' 를 'ㄱ=ㄴ'이라 하자.

'다음' 을 → 라 하자.
0 다음은 1이다. 1 다음은 2이다. 2 다음은 3이다. ⋯  

0 → = 1. 1 → = 2. 2 → = 3. ⋯  (1)

1, 2, 3, ⋯ 을 양의 정수라 하자. 

'이전' 을 ← 라 하자.
0 이전은 -1이다. -1 이전은 -2이다. -2 이전은 -3이다. ⋯ 
0 ← = -1. -1 ← = -2. -2 ← = -3. ⋯  (2)
-1, -2, -3 ⋯ 을 음의 정수라 하자. 

0, 양의 정수 (1, 2, 3, ⋯ ) , 음의 정수 (-1, -2, -3, ⋯ ) 를 정수라 하자.  

이웃한 정수 사이의 관계

ㄱ이 정수일 때, ㄱ 다음 이전은 ㄱ이다. 
(ㄱ →) ← = ㄱ.  

(1) 참조.
0 다음 이전은 0이다. 0 다음은 1이므로, 1 이전은 0이다. 
1 다음 이전은 1이다. 1 다음은 2이므로, 2 이전은 1이다.
2 다음 이전은 2이다. 2 다음은 3이므로, 3 이전은 2이다. 
(0 →) ← = 0. 0 → = 1이므로, 1 ← = 0.
(1 →) ← = 1. 1 → = 2이므로, 2 ← = 1.

(2 →) ← = 1. 2 → = 3이므로, 3 ← = 2.

정리하면, 1 이전은 0이다. 2 이전은 1이다. 3 이전은 2이다. ⋯

1 ← = 0. 2 ← = 1. 3 ← = 2. ⋯  (3)

ㄱ이 정수일 때, ㄱ 이전 다음은 ㄱ 이다.

(ㄱ ←) → = ㄱ.

(2) 참조.

-0 이전 다음은 -0이다. -0 이전은 -1이므로, -1 다음은 -0이다. 
-1 이전 다음은 -1이다. -1 이전은 -2이므로, -2 다음은 -1이다. 
-2 이전 다음은 -2이다. -2 이전은 -3이므로, -3 다음은 -2이다. 
(-0 ←) → = -0. -0 ← = -1이므로, -1 → = -0.
(-1 ←) → = -1. -1 ← = -2이므로, -2 → = -1.
(-2 ←) → = -2. -2 ← = -3이므로, -3 → = -2.

정리하면, -1 다음은 0이다. -2 다음은 -1이다. -3 다음은 -2이다. ⋯
-1 → = -0. -2 → = -1. -3 → = -2. ⋯  (4)

(1)과 (4)에 의해,
⋯ -3 → = -2. -2 → = -1. -1 → = -0. 0 → = 1. 1 → = 2. 2 → = 3. ⋯
이 되고, (2)와 (3)에 의해,
⋯ 3 ← = 2. 2 ← = 1. 1 ← = 0. 0 ← = -1. -1 ← = -2. -2 ← = -3. ⋯
이 된다.

ㄱ ←                   ㄱ                   ㄱ → 
   ⋮                       ⋮                       ⋮
  -3                     -2                     -1
  -2                     -1                      0
  -1                      0                      1
   0                      1                      2
   1                      2                      3
   ⋮                       ⋮                       ⋮

정수의 덧셈

ㄱ이 정수일 때, ㄱ+0 = ㄱ 이라 하자. 

ㄱ이 0이 아닌 정수일 때, 0에서 ㄱ을 만드는 과정을 +ㄱ이라 하자. 예:

0 → = 1 이므로, · → = · + 1.

(0 →) → = 2 이므로, ( · →) → = · + 2.  

0 ← = -1 이므로, · ← = · + (-1).
(0 ←) ← = -2 이므로, ( · ←) ← = · + (-2).
마찬가지로, 
(( · →) →) → = · + 3.
((( · ←) ←) ←) ← = · + (-4).

이러면 ㄱ,ㄴ이 정수일 때, ㄱ+ㄴ이 잘 정의된다. 
또한 ㄱ이 정수일 때 +ㄱ의 정의에 의해, 0+ㄱ=ㄱ이 된다. 

이 기호로 [이웃한 정수 사이의 관계]에 나오는 내용을 다시 적어보면 다음과 같이 된다.
⋯ (-3) + 1 = -2. (-2) + 1 = -1. (-1) + 1 = 0. 0 + 1 = 1. 1 + 1 = 2. 2 + 1 = 3. ⋯
⋯ 3 + (-1) = 2. 2 + (-1) = 1. 1 + (-1) = 0. 0 + (-1) = -1. -1 + (-1) = -2. -2 + (-1) = -3. ⋯

정수의 덧셈의 성질

[정수의 덧셈]에서 언급한 것처럼, ㄱ이 정수일 때, 
ㄱ+0 = 0+ㄱ = ㄱ이 된다.

또한 ㄱ이 정수일 때, (ㄱ →) ← = (ㄱ ←) → =ㄱ 이다.  ⋯ (5)
이는 다른 말로 (ㄱ+1)+(-1)= (ㄱ+(-1))+1=ㄱ 이라 할 수 있다. 

ㄱ,ㄴ이 정수일 때, ㄱ+ㄴ=ㄴ+ㄱ이다. 
이는 다음 예를 보면 알 수 있다. (5) 참조.
빨간 화살표는 이전 식과 비교했을 때 방향이 바뀐 화살표이다. 
3+(-2) = (0+3)+(-2) = (((0 →) →) →) + (-2) 
                          = ((((0 →) →) →) ←) ←
                          = ((((0 →) →) ←) →) ←
                          = ((((0 →) ←) →) →) ←
                          = ((((0 ←) →) →) →) ←

                          = ((((0 ←) →) →) →) ←

                          = ((((0 ←) →) →) ←) →  

                          = ((((0 ←) →) ←) →) →

                          = ((((0 ←) ←) →) →) →

                          = ((((0 ←) ←) →) →) →

                          = (0+(-2))+3 = (-2)+3.

ㄱ,ㄴ,ㄷ이 정수이고, ㄴ+ㄷ=ㄹ일 때, 

(ㄱ+ㄴ)+ㄷ=ㄱ+ㄹ이다. 즉, (ㄱ+ㄴ)+ㄷ=ㄱ+(ㄴ+ㄷ)이다. 

이는 다음 예를 보면 알 수 있다. (5) 참조.

빨간 화살표는 서로 상쇄되어 다음 식에서 없어질 화살표이다. 

3+(-2) = ((((0 →) →) →) ←) ←

         = ((0 →) →) ←

         = 0 → = 1

(ㄱ+3)+(-2) = ((((ㄱ →) →) →) ←) ←

                = ((ㄱ →) →) ←

                = ㄱ → = ㄱ+1 = ㄱ+(3+(-2))

정리하자면 ㄱ,ㄴ,ㄷ이 정수일 때,

• ㄱ+0=0+ㄱ=ㄱ이다.
• ㄱ+ㄴ=ㄴ+ㄱ이다.
• (ㄱ+ㄴ)+ㄷ=ㄱ+(ㄴ+ㄷ)이다.